Onderstaande stelling komt uit een proefschrift van dr. Robert E. Kooij van 18 maart 1993.
Het proefschrift heet: Limit cycles in polynomial systems. Tijdens de verdediging van het wiskunde proefschrift heeft prof. dr. H. G. Meijer er vragen over gesteld. Voor het stellen van die vragen had hij weken zitten rekenen en puzzelen aan de Heeringa getallen. Hij vond ze erg interessant.

De stelling komt er op neer, dat er een beperkt aantal Heeringa getallen is en dat een Heeringa getal maximaal 78 cijfers heeft. Professor Meijer bewees tijdens de promotie, dat het maximum aantal cijfers 52 is. En dat is een heel stuk kleiner.

Dit zijn de tot dusver bekende 10 Heeringa getallen:
 

Hg1 0
Hg2 1
Hg3 13
Hg4 119
Hg5 645
Hg6 1992
Hg7 4593
Hg8 4962
Hg9 596.628
Hg10 6.736.995

Ik ontdekte het Heeringa getal 1992 toen ik een Nieuwjaarskaartje maakte. Robert Kooij vond het zo interessant dat ie hem opnam in zijn proefschrift. Dat ie in die tijd verkering had met Bionda had er natuurlijk niets mee te maken...
Overigens slaagde Robert Kooij cum laude voor zijn proefschrift en dat komt weinig voor.


7. The following 1992 New Year's card was designed by Willem Heeringa:
 
1 + 9 + 9 + 2 = 21 x 1 = 21  
1 x 9 x 9 x 2 = 162 x 9 = 1458  
1 + 9 + 9 + 2 = 21 x 9 = 189  
1 x 9 x 9 x 2 = 162 x 2 = 324  
                        ------

 +

                        1992  

 

Inspired by this New Year's card one can state the following definition:

Definition Consider a natural number g = gn10n + gn-110n-1 + .. + g110 + g0.

If the number of digits of g is even then we say that g is a Heeringa number if

g = (gn + gn-2 + .. + g1) Σ gi + (gn-1 + gn-3 + .. + g0) Π gi.

If the number of digits of g is odd then we say that g is a Heeringa number if

g = (gn + gn-2 + .. + g0) Σ gi + (gn-1 + gn-3 + .. + g1) Π gi.

Examples of Heeringa numbers are 13, 645, 1992 and 6736995.

There exists a largest Heeringa number. This number has at most 78 digits.


Nog een paar voorbeelden, namelijk de Heeringa getallen 13 en 645:
 

1 + 3 = 4 x 1 = 4  
1 x 3 = 3 x 3 = 9  
                -----

+

                13  

6 + 4 + 5 = 15 x 6 = 90  
6 x 4 x 5 = 120 x 4 = 480  
6 + 4 + 5 = 15 x 5 = 75  
                    -----  +
                    645  

 

 

Enig onderzoek aan de Heeringa-getallen volgt hier.
Eerst even een iets andere defintie die overigens op hetzelfde neerkomt.
We gaan uit van een natuurlijk getal G in ons gebruikelijke tientallige stelsel.
De som van de cijfers noemen we S.
Het product van de cijfers noemen we P.
De som van het 1e , 3e, 5e, ... cijfer (vanaf links) noemen we o.
De som van het 2e , 4e, 6e, ... cijfer (vanaf links) noemen we e.

Dan is H(G)  =  S x o  +  P x e

Als H(G) = G, dan spreken we van een Heeringa-getal.
 

Voorbeeld voor G = 1992

S = 1+9+9+2 =  21
P = 1*9*9*2 = 162
o = 1  +  9    =  10
e =    9  +  2 =  11

H(G) = 21 x 10  + 162 x 11
       = 210 + 1782
       = 1992

H(G) = 1992 en G = 1992 


  aantal getallen
 (zonder 0)
Aantal
 H(G)>G
Heeringa-
getallen
1 cijfer 9 8 89% 0, 1
2 cijfers 81 68 84% 13
3 cijfers 729 386 53% 119, 645
4 cijfers 6.561 2.655 40% 1992, 4593, 4962
5 cijfers 59.049 11.985 20.3% -
6 cijfers 531.441 74.252 14.0% 596.628
7 cijfers 4.782.969 273.609 5.7% 6.736.995
8 cijfers 43.046.721 1.390.078 3.2% -
9 cijfers 387.420.489 4.180.567 1.08% -
10 cijfers 3.486.784.401 17.739.659 0.51% -
11 cijfers 31.381.059.609 44.328.658 0.14% -
12 cijfers 282.429.536.481 159.235.632 0.056% -
13 cijfers 2.541.865.828.329 335.383.237 0.013% -
14 cijfers 22.876.792.454.961 1.033.612.792 0.0045% -
15 cijfers 205.891.132.094.649 1.855.398.335 0.0009% -

 

Benamingen van getallen

getal

exp

benaming

1.000

10001

duizend

1.000.000

10002 miljoen
1.000.000.000 10003 miljard
1.000.000.000.000 10004 biljoen
1.000.000.000.000.000 10005 biljard
1.000.000.000.000.000.000 10006 triljoen
1.000.000.000.000.000.000.000 10007 triljard
1.000.000.000.000.000.000.000.000 10008 quadriljoen
1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 10009 quadriljard